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Teoría de autómatas y lenguajes formales
Introducción
¿Por qué?
La teoría de autómatas es una parte fundamental para las ciencias de la computación con múltiples usos y aplicaciones:
- Diseñar y pruebas de circuitos digitales
- Analizadores léxicos
- Exploración de cuerpos de texto de gran tamaño
- Verificación de sistemas con un número finito de estados, como protocolos de comunicación o intercambio de información
Un autómata simple
Representación
Generalmente usamos grafos dirigidos para representar autómatas, pero hay dos representaciones de particular importancia para su estudio y aplicaciones en ciencias de la computación:
- Gramáticas, usadas para procesar datos con estructuras recursivas
- Expresiones regulares, usadas para especificar estructuras de texto
Complejidad computacional
La computación tiene límites:
- Decidibilidad, ¿qué es lo que puede hacer una computadora?
- Intratabilidad, ¿qué puede hacer una computadora de manera eficiente?
Alfabetos
Un alfabeto es un conjunto de símbolos finito y no vacío, designado mediante la letra Σ, por ejemplo:
- Σ = {0,1}, el alfabeto binario
- Σ = {a,b, . . . , z}, el conjunto de todas las letras minúsculas
- El conjunto de todos los caracteres ASCII
Cadenas
Una cadena o palabra es una secuencia finita de símbolos de algún alfabeto, y se denotan por letras altas del alfabeto (normalmente de la w en adelante)
Todos los alfabetos cuentan con una cadena vacía, formada por ningún elemento y representada por la letra ε
Todas las cadenas tienen una longitud que es igual al número de símbolos que la conforman y se denota por |w|
Si queremos expresar todas las cadenas de longitud k de un alfabeto, o su potencia, lo hacemos mediante la notación Σk
Cadenas
Σ* denota, entonces, el conjunto de todas las cadenas de un alfabeto
\Sigma^* = \Sigma^0 \cup \Sigma^1 \cup \Sigma^2 \cup \Sigma^3 ...
De donde se desprende:
\Sigma^+ = \Sigma^1 \cup \Sigma^2 \cup \Sigma^3 ...
\Sigma^* = \Sigma^+ \cup \{\epsilon\}
Cadenas
Por último, podemos hacer concatenación de dos cadenas x, y, poniendo los elementos de la segunda después de la primera
x = a_1 a_2 a_3 ... a_i
y = b_1 b_2 b_3 ... a_j
xy = a_1 a_2 a_3...a_ib_1b_2b_3...b_j
|xy| = i + j
Lenguajes
Un lenguaje L de Σ es un conjunto de cadenas tal que todas son elementos de Σ*
L \subseteq \Sigma^*
Σ* es un lenguaje para cualquier alfabeto Σ
∅ es un lenguaje de cualquier alfabeto
{ε} es un lenguaje de cualquier alfabeto
\emptyset \neq \{\epsilon\}
Teoría de autómatas y lenguajes formales: Introducción
By Gilberto 🦁
Teoría de autómatas y lenguajes formales: Introducción
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